不定方程的解題技巧
不定方程的解一般有無數個，但命題人不會出沒有答案的考題，因此，解不定方程的方法有下面幾種：
一、尾數法
當未知數的系數有5或10的倍數時使用
有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個座位，小客車有20個座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數是：
A.1輛 B.3輛 C.2輛 D.4輛
【答案】B
參考解析：尾數法，設大客車需要x輛，小客車需要y輛，則37x+20y=271，20y的尾數一定是0，則37x的尾數等于271的尾數1，由于3×7=(21)，x的尾數就是3，結合選項，正確答案就是B。
二、奇偶性
當未知數的系數有偶數時使用
某兒童藝術培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數量都是質數。后來由于學生人數減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數量不變，那么目前培訓中心還剩下學員多少人?
A.36 B.37 C.39 D.41
【答案】D
參考解析：此題初看無處入手，條件僅僅有每位教師所帶學生數量為質數，條件較少，無法直接利用數量關系來推斷，需利用方程法。
設每位鋼琴教師帶x名學生，每位拉丁舞教師帶y名學生，則x、y為質數，且5x+6y=76。對于這個不定方程，需要從整除特性、奇偶性或質合性來解題。
很明顯，6y是偶數，76是偶數，則5x為偶數，x為偶數。然而x又為質數，根據“2是唯一的偶質數”可知，x=2，代入原式得y=11。現有4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，則剩下學員4×2+3×11=41人。因此選擇D。
三、整除法
利用整除的加和性，如：a+b=c，若a能被x整除，c也能被x整除，那么b一定能被x整除。
小李用150元錢購買了16元一個的書包、10元一個的計算器和7元一支的鋼筆寄給災區兒童，如果他買的每一樣物品數量都不相同，且書包數量最多而鋼筆數量最少，那么他買的計算器數量比鋼筆多多少個?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
參考解析：用150元購買16元一個的書包、10元一個的計算器和7元一個的鋼筆，設買了x個書包，y個計算器和z支鋼筆，則16x+10y+7z=150，這是個不定方程。由于16x、10y和150都是偶數，則7z為偶數，z只能為偶數。由于zz=2，則x只能取6(當x取更大值時，y為負數)，y=4，滿足題意。故計算器比鋼筆多4-2=2個。
