今天和大家一起聊一聊數學運算中的“坑”——常見易錯點。

 

　　一、行程問題——“車過橋”與中途休息

　　例題1、某列車通過1200米長的隧道要用時33秒，與另一列長150米、速度為50米/秒的列車錯車而過需要3秒，則該列車減速一半后，通過一座600米的橋梁所需的時間為？

　　A 18秒

　　B 20秒

　　C 30秒

　　D 36秒

 

　　【基礎解析】

　　根據題干可知，兩列火車錯車而過，相當于相遇問題，所以經過的路程為兩個火車車長之和，速度為兩車速度之和，設列車速度為Vm/s，車身長為L，因為兩車錯車而過需要3秒，所以（L+150）/3=(V+50)，L=3V。列車經過1200米隧道需要33秒，總路程長為火車長與1200之和，所以L+1200=33V，已推出L=3V，即1200=30V，V=40m/s。列車速度減半，則速度為20m/s，經過橋梁，總路程為車身長和橋梁長S=600+3×40=720m,t=S/V=720/20=36秒。故本題答案為D。

　　【易錯/陷阱分析】

　　錯車而過的路程長是包括兩列火車車身長度之和，過橋過隧道均不能忽視車身長度。

 

　　例題2、老李每天早晨9點準時出門散步鍛煉身體。他以3千米每小時的速度步行6千米，其中每走20分鐘休息5分鐘。那么老李鍛煉到（ ）回家。

　　A 11點20分

　　B 11點25分

　　C 11點30分

　　D 11點45分

 

　　【基礎解析】

　　根據題意，老李速度為3千米每小時，路程6千米，即不休息的話，老李走完6千米需要6÷3=2小時。每20分鐘休息一次，即一個小時休息60÷20=3次，因為最后一次走完不涉及休息時間，即120分鐘的路程中間需要休息5次，休息總時間=5×5=25分鐘。所以老李鍛煉道家的時間為9點+2小時25分鐘=11點25分。故本題答案為B。

　　【易錯/陷阱分析】

　　每走20分鐘休息5分鐘，從出門鍛煉到回家，則最后一次走到家里不涉及休息時間。行程問題路途中的休息時間不能忽略，注意是否需要計算入總的行駛時間。

 

　　二、概率問題——反向計算

　　例題3、正值畢業季，306宿舍有A、B、C、D四位男同學，他們準備找班主任宋老師合影，若要求宋老師坐正中間，A、B兩位同學不能挨著坐，那么總共有多少種坐法?

　　A 8種

　　B 12種

　　C 16種

　　D 24種

　　【基礎解析】

　　解法一：根據題干可知，包括老師一共5人合影，老師要在中間，則老師左邊和右邊各兩個人。A、B不能挨著坐，即AB不相鄰，則A、B分別在老師左右兩邊， C、D也分別在老師的左右兩邊。先讓A從剩下的4個位置中選擇1個，有C（4,1）=4種坐法，那么B只能從不挨著A的2個位置中選一個，有C（2,1）=2種坐法，剩下的CD兩人就是從剩下的2個位置中進行選擇，兩人進行位置排列有A（2,2）=2種坐法，總共有4×2×2＝16種坐法。故本題答案為C。

　　解法二：反向考慮。宋老師坐正中間，ABCD四位同學總坐法有A（4,4）=24種，若AB兩位同學挨著坐，則可捆綁后選擇宋老師左邊或右邊的兩個位置，有C（2,1）=2種，兩人內部位置排列有A（2,2）=2種，剩余宋老師的另一邊則是CD兩人排列有A（2,2）=2種坐法，故AB同學挨著坐的情況共有2×2×2=8種。則不挨著坐的情況有24-8=16種。故本題答案為C。

　　【易錯/陷阱分析】

　　概率問題可從正面求解，也可從反面求解(一般當正面難以求解時)，但反面求解應注意考慮全面或不多算。

 

　　三、經濟利潤問題——利潤率

　　例題4、一商品的進價比上月低了5%，但超市仍按上月售價銷售，其利潤率提高了6個百分點，則超市上月銷售該商品的利潤率為：

　　A 12%

　　B 13%

　　C 14%

　　D 15%

 

　　【基礎解題】

　　設該商品上月的進價為100，商品的售價為x，則該商品本月的進價為95，可得（x-95）/95-（x-100）/100=0.06，即x/95-x/100=0.06，解得x=114，則超市上月的利潤率為（114-100）/100=14%。故本題答案為C。

　　【易錯/陷阱分析】

　　一般而言，數學運算中的利潤率=利潤/成本，資料分析中的利潤率=利潤/收入。

 

　　四、周期日期問題——間隔周期、日期計算

　　例題5、甲、乙、丙三人均每隔一定時間去一次健身房鍛煉。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天?

　　A 5月28日

　　B 6月5日

　　C 7月24日

　　D 7月25日

 

　　【基礎解析】

　　根據題干可知，甲每隔2天去一次健身房，則甲去健身房的周期為2+1=3天，乙每隔4天去一次健身房，則乙去健身房的周期為4+1=5天，丙每7天去一次健身房，則丙去健身房的周期為7天，所以甲、乙、丙三人同時去健身房的周期為3×5×7=105天。4月10日三人相遇，下一次三人相遇在健身房相遇是在105天之后，此時4月還剩20天，5月有31天，6月30天，7月還剩105-81=24天，即7月24日三人再次相遇。故本題答案為C。

　　【易錯/陷阱分析】

　　每隔n天去一次，周期為n+1天；每n天去一次，周期為n天。

 

　　五、濃度問題——十字交叉法的運用

　　例題6、現有濃度為12%和24%的鹽水各若干克，將其混合后加入50克水，配制成了濃度為18%的鹽水600克，則原12%和24%的鹽水質量之比是：

　　A 6:5

　　B 1:1

　　C 5:6

　　D 4:7

 

　　【基礎解析】

　　解析一：設濃度為12%的鹽水有x克，濃度為24%的鹽水有y克，混合后加入50克水得到濃度為18%的鹽水600克，則溶液總量600=x+y+50，混合前后含鹽量為12%x+24%y=18%×600，聯立兩式可解得x=200、y=350，則原12%和24%的鹽水質量之比為200:350=4:7。故本題答案為D。

　　解析二：根據題干可知，混合得到濃度為18%的鹽水600克，則加水前，濃度為12%和24%的鹽水混合后得到的溶液的濃度為600×18%/（600-50）=108/550，則根據十字交叉法可得原12%和24%的鹽水質量之比=（24%-108/550）：（108/550-12%）=4:7。故本題答案為D。

　　【易錯/陷阱分析】

　　溶液混合前后溶質的質量保持不變，溶液的質量和濃度發生變化。本題中兩溶液混合后加水50克才得到濃度18%的鹽水，在運用十字交叉法時不能直接計算。

 

　　以上就是數學運算中常見的易錯點，另附上一些數學中的基本公式，預祝各位小伙伴們旗開得勝。

　　1、工程問題：

　　工作量=工作效率×工作時間、總工作量=各分工作量之和

　　2、行程問題：

　　路程=速度×時間

　　相遇追及問題公式：相遇距離=（V1+V2）×相遇時間、追及距離=（V1-V2）×追及時間

　　流水行船問題公式：順水=船速+水速、逆水=船速-水速

　　往返相遇問題公式：兩岸型兩次相遇 S=3S1-S2、單岸型兩次相遇 S=（3S1+S2）/2（S1為第一次相遇距離，S2為第二次相遇距離）

　　3、經濟利潤問題：

　　利潤=售價-成本、利潤率=利潤/成本、總利潤=單利潤×銷量=總售價-總成本

　　4、排列組合：

　　排列和組合的計算公式：A(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)；C(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)/m!；C(n,m)=C(n,n-m)。

　　分類原理和分步原理的區別和運用：分類用加法，分步用乘法。

　　排列組合的常見方法：捆綁法、插空法、隔板法、錯位排列、圓桌排列。

　　5、容斥原理：

　　兩集合容斥公式 A+B-A∩B=全部-都不

　　三集合容斥公式 A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=全部-都不

　　三集合變形公式 A+B+C-(各個只同時屬于兩個集合的值的和)-2×A∩B∩C=全部-都不

　　6、濃度問題：

　　溶液=溶質+溶劑、濃度=溶質/溶液

　　7、牛吃草問題：

　　y=（N-x）×t，其中y代表草原量，N代表牛的頭數，x代表草生長的速度，t代表牛吃完這片草所用的時間。

　　8、基礎數學公式

　　（1）常考數列的求和

　　自然數列：1+2+3+……+n=n*(n+1)/2。[自然數列中，數的個數=(大數-小數)+1]

　　公差為d的等差數列：a[n]=a[1]+(n-1)d;S[n]=(a[1]+a[n])/2×n;S[n]=na[1]+n(n-1)/2×d。

　　（2）2、3、5的倍數的數字特征

　　2的倍數=該數能被2整除：數的最末一位數字是一個偶數;

　　5的倍數=該數能被5整除：數的最末一位數字是0或5;

　　3(9)的倍數=該數能被3(9)整除：數的各個位上的數字之和是3(9)的倍數。

　　（3）同余定理

　　差同減差(選除數的最小公倍數，然后“減差”)

　　和同加和(選除數的最小公倍數，然后“加和”)

　　余同取余(選除數的最小公倍數，然后“加余”)

　　（4）倍數特性

　　若a:b=m:n（m、n互質），則a是m的倍數，b是n的倍數，a+b（a-b）是m+n（m-n）的倍數。